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- 현재 지구상에서는 일반적으로 4개의 위성과 동시에 접촉하는 것이 보장돼
- GPS 사용 정확한 항법을 위해서는 최소 5개의 위성이 필요하다는 것을 처음으로 계산
- 통신위성에는 원자시계 장착, 지상 수신기 로컬시계는 원자시계가 아니다.
- 100만분의 1초라도 잘못되면 위치 확인은 최소 300미터 정도 부정확 해진다.
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정확한 GPS 신호에는 몇 개의 위성이 필요할까?
정확한 위치가 항상 작동하지 않는 이유

수학적 증명:
과학자들이 GPS를 사용해 정확한 항법을 위해서는 최소 5개의 위성이 필요하다는 것을 처음으로 계산했다. 그래야만 수신기의 부정확한 시간 측정과 위성의 불리한 위치를 보상할 수 있다. 그러나 현재 지구상에서는 일반적으로 4개의 위성과 동시에 접촉하는 것이 보장된다. 따라서 GPS를 통한 위치 추적은 계속 확장될 수 있다. 

▲ 과학자들이 GPS를 사용해 정확한 항법을 위해서는 최소 5개의 위성이 필요하다는 것을 처음으로 계산했다.

GPS(Global Positioning System)와 같은 위성 항법 시스템은 오늘날 우리 대부분이 당연하게 여기는 것이다. 예를 들어, 우리는 이를 사용하여 디지털 지도에서 우리 위치에서 원하는 주소까지의 최단 경로(예: 다음 정류장 또는 합의된 미팅 장소까지)를 검색하거나 그곳으로 직접 길 안내를 받을 수 있도록 한다.

이것은 궤도를 돌며 전파를 통해 위치를 지속적으로 알려주는 매우 정밀한 원자시계를 갖춘 위성에 의해 가능하다. 휴대폰이나 기타 내비게이션 장치와 같은 지구상의 수신 장치는 전송 및 수신 시간을 사용하여 전파가 이동한 시간과 위성까지의 거리를 계산한다. 그러면 수신기의 위치는 방정식 시스템을 사용하여 결정된다.

수신자의 문제

문제는 GPS 수신기의 로컬 시계가 원자시계가 아니라는 것이다. 100만분의 1초라도 잘못되면 위치 확인은 최소 300미터 정도 부정확해진다. 이는 수신되는 모든 위성 신호와 포함된 타임스탬프가 동일한 편차를 갖는 수신기에 의해 오프셋된다는 사실로 보상된다. 그러나 이러한 편차의 정도를 확인하려면 시스템이 여러 위성의 신호를 비교해야 한다.

"따라서 더 많은 위성이 관련될수록 더 좋다는 가정이 이루어졌다" 아인트호벤 공과 대학의 Mireille Boutin과 뮌헨 공과 대학의 Gregor Kemper가 설명했다. 그러나 실제로는 GPS 위성이 불리한 위치에 있거나 신호가 전리층 난류, 주택 또는 협곡에 의해 방향이 바뀌기 때문에 내비게이션 시스템이 충분한 위성 신호를 수신할 수 없는 경우가 종종 있다.

기하학적 증명

도대체 휴대폰이나 기타 내비게이션 장치의 위치를 ​​정확하게 파악하려면 몇 개의 GPS 위성이 필요할까? Boutin과 Kemper는 이제 이를 수학적으로 계산했다. Kemper는 "쉬운 일이 아니었다. 실제로 이 지점에 도달할 때까지 1년 넘게 문제를 해결하기 위해 노력했다"고 말했다. 연구진은 GPS 문제를 기하학적으로 특성화해 최초로 수학적 증명을 제시하는데 성공했다.

그들은 위성이 곡선의 열린 표면에 배열되어 있거나 수학적으로 말하면 소위 이중 껍질 쌍곡면에 놓여 있는 경우 수신기의 위치를 ​​명확하게 결정할 수 없다는 것을 발견했다. 이 모양은 바닥이 서로 마주보는 두 개의 그릇과 비슷하다. 위성과 수신기의 기하학적 구조의 경우 이는 위성이 동일한 시선에서 서로 뒤에 위치함을 의미한다. 따라서 해당 신호는 중복된 공간 정보를 제공한다.

현재 위성 수가 충분하지 않아

이 접근 방식을 사용해 수학자들은 대부분 경우 5개의 위성을 통해서만 위치를 정확하게 결정할 수 있다는 결론에 도달했다. 왜냐하면 위성이 동일한 시선에 있고 서로 다른 "시야각"이 3개 미만일 가능성이 매우 낮기 때문이다. Kemper는 “이것이 오랫동안 의심되어 왔지만, 이전에는 아무도 증거를 찾지 못했다”고 말했다.

연구원들의 보고에 따르면 현재 지구상 모든 지점에서 4개의 위성과의 접촉이 항상 보장된다. 따라서 이는 안정적이고 정확한 GPS 위치 파악에 충분하지 않다. Kemper는 “4개의 위성만으로 GPS 문제가 명확하게 해결될 확률은 50%인 것 같다”고 말했다. 시야에 위성이 3개 이하로 있으면 GPS 내비게이션이 작동하지 않는다. 그렇다면 유일한 해결책은 우리나 위성이 위치를 변경할 때까지 기다리는 것이다.

▲ 정확한 GPS 위치 확인을 위해 휴대폰과 내비게이션 장치는 여러 GPS 위성의 신호를 비교한다.

GPS의 단점에 대한 더 나은 이해

이제 이론적 계산을 통해 GPS를 사용한 위치 확인의 부정확성을 더 잘 이해할 수 있다. 그런데 새로운 TNPS 시스템은 GPS보다 더 정확하다. 로컬 이동 통신과 광섬유 네트워크를 사용하여 시간 동기화 신호를 사용하여 최대 10cm의 정확도로 위치를 확인한다.
(Advances in Applied Mathematics, 2024; doi: 10.1016/j.aam.2024.102741)
출처: Technische Universität München

[더사이언스플러스=문광주 기자]

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