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- 1200년, 피보나치라는 필명으로 알려진 수학자 레오나르도(Leonardo)는 한 쌍의 토끼가 장기적으로 몇 마리의 새끼를 낳을 수 있는지 알고 싶었다.
- 토끼의 수는 앞의 두 수의 합이 다음 수와 같은 피보나치 수열처럼 나타난다는 것을 알아낸 것이다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89
- 자연 역시 황금비를 사랑한다.

자연은 대칭적으로 생각할까: 소용돌이, 수열, 그리고 나선

1200년, 한 쌍의 토끼로부터 이야기가 시작됐다. 피보나치라는 필명으로 알려진 수학자 레오나르도(Leonardo)는 한 쌍의 토끼가 장기적으로 몇 마리의 새끼를 낳을 수 있는지 알고 싶었다. 

▲ 토끼 한 쌍이 몇 마리의 새끼를 낳을 수 있는지에 대한 질문은 피보나치가 유명한 수열을 발견하게 된 계기가 되었다. © Paul Danese/ CC-by-sa 4.0

토끼, 합, 그리고 나뭇잎의 위치

그의 목표는 토끼의 번식 행동을 예측할 수 있는 수학적 규칙성을 찾는 것이었다. 피보나치는 마침내 자신이 찾던 것을 발견했다. 토끼의 수는 앞의 두 수의 합이 다음 수와 같은 피보나치 수열처럼 나타난다는 것을 알아낸 것이다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … 이 피보나치 수열은 이후 수학의 기본 원리가 되었다.

하지만 피보나치 수열은 자연의 대칭성과 설계 언어에도 영향을 미친다. 따라서 대부분 식물 잎은 줄기에서 무작위로 돋아나는 것이 아니라, 이전 잎들과 일정한 각도를 이루며 비스듬히 배열된다. 위에서 보면 잎들은 나선형을 이루고 있다. 잎 사이의 간격은 분수로 나타낼 수 있는데, 이 분수의 분자와 분모는 모두 피보나치 수열을 따른다.

해바라기와 솔방울 속의 피보나치 수열

이러한 수적 비율은 국화과(Asteraceae) 꽃, 엉겅퀴, 선인장, 콜리플라워나 양배추, 그리고 솔방울에서도 찾아볼 수 있다. 예를 들어, 솔방울을 위에서 보면 우리 눈은 무의식적으로 개별 난자를 연결하는 선을 인식하는데, 이 선들은 보는 각도에 따라 좌나선 또는 우회전 나선을 이룬다.

▲ 앵무조개의 껍데기는 황금비율을 따르는 대수 나선 구조를 가지고 있다. © Chris 73 / Wikimedia Commons, CC-by-sa 3.0

솔방울의 나선 구조에도 피보나치 수열이 나타난다. 꽃이나 솔방울의 좌나선과 우회전 나선은 항상 인접한 두 개의 피보나치 수에 해당한다. 솔방울에서는 이 비율이 5와 8이고, 데이지에서는 13과 21, 해바라기에서는 34와 55이다. 자연은 식물계에서만 이 수학적 패턴을 사용하는 것이 아니다. 앵무조개의 나선형 껍데기와 많은 달팽이 껍데기 또한 흔히 볼 수 있는 피보나치 수열을 따른다.

▲ 피보나치 수열은 솔방울의 나선형 씨앗 꼬투리에도 숨겨져 있다. © Bubba73/ CC-by-sa 4.0

자연 역시 황금비를 사랑한다.

하지만 이것이 전부가 아니다. 앵무조개의 껍데기 나선형은 또 다른 수학적 기하학적 원리인 황금비를 따르는 로그 나선을 형성한다. 이 비율은 고대부터 특별히 조화롭고 완벽한 것으로 여겨졌다. 플라톤에게는 우주를 이해하는 열쇠였고, 레오나르도 다빈치는 인체의 비율에서 그것을 찾았으며, 천문학자 요하네스 케플러에게는 기하학의 보석과도 같았다. 우리는 본능적으로 황금비에 기반한 형태를 균형 잡힌 것으로 인식한다.

황금비는 많은 식물의 잎과 꽃의 나선형 구조에서도 찾아볼 수 있다. 원을 황금비로 나누면 그 안쪽의 각도가 정확히 137.5°가 된다. 이는 대부분 식물의 꽃, 씨앗, 잎이 서로 마주 보고 배열되는 각도와 정확히 일치한다.

▲ 황금비를 따르는 로그 나선은 자기 유사성을 지닌다. 즉, 확대하든 축소하든 비율은 동일하게 유지된다.

"황금" 기하학과 놀라운 나선

이 "황금" 기하학의 기본 원리는 각 부분의 길이가 특정한 비율을 이루는 선분이다. 긴 선분의 전체 길이와 짧은 선분의 전체 길이의 비율이 같다. 이러한 원리는 면적에도 적용할 수 있다. 직사각형을 이 원리에 따라 여러 번 나누면, 각 변의 길이가 다음으로 작은 두 정사각형의 변의 길이의 합인 여러 개의 정사각형이 중첩된 형태를 얻게 된다.

이 정사각형들의 꼭짓점을 곡선으로 연결하면 앵무조개 껍데기의 전형적인 나선형 모양이 된다. 이 "황금 나선"은 크기가 커져도 곡선의 모양이 변하지 않는다는 놀라운 특징을 가지고 있습. 바로 자기 유사성이다. 1691년, 수학자 야코브 베르누이(Jacob Bernoulli)는 이 나선에서 마법 같은 아름다움을 발견하고 "spira mirabilis"(기적의 나선)라고 불렀다.

더욱 흥미로운 점은 황금각과 황금비가 피보나치 수열과 밀접한 관련이 있다는 것이다. 황금각을 소수로 나타내면 0.382가 되는데, 이는 피보나치 수열이 수렴하는 값과 같다. (계속)

[더사이언스플러스=문광주 기자]

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