6분 읽기
- 좌표계에서는 축의 중앙 교차점을 형성하며, 확률론에서는 가능한 가장 작은 값
- 고대 이집트, 수학적 0에 대한 최초의 선구자는 기원전 1700년경 한 회계사의 기록
- 기원전 400년경, 마야 사제들 세 개의 상호 연결된 달력으로 구성된 시스템에 "0" 등장
- 인도의 수학자이자 천문학자인 아리아바타 서기 500년경에 수학적 0의 개념 개발

0으로 계산하기
마야인, 인디언, 그리고 수학적 가치로서의 0

0은 우리의 10진법 체계의 값일 뿐만 아니라 수학적 크기기도 하다. 이는 가능한 가장 작은 집합, 즉 공집합을 나타내며 숫자 문자열에서 고유한 위치를 갖는다. 또한 숫자와 수학 연산에서 특별한 역할을 한다.

0은 어떤 숫자일까?

0은 숫자 사슬에서 중심적인 위치를 차지한다. 0은 음수와 양수를 분리하지만, 그 자체로는 둘 중 하나도 아니고, 동시에 둘 다 아니다. 디지털 컴퓨터의 이진 세계에서는 0의 두 가지 버전도 있는데, 하나는 양수 부호이고 다른 하나는 음수 부호다. 많은 부동 소수점 숫자의 경우 0000 0000은 양의 0을 나타내고, 1000 0000은 음의 0을 나타낸다. 후자는 예를 들어 음수를 0으로 반올림할 때 발생한다. 

▲ 이집트 상형문자 "nfr"는 보통 "아름다움"을 의미하는데, 기자의 무덤에서도 그렇게 표현됐다. 때로는 잔액이 0인 균형 잡힌 지폐의 상징으로 사용되기도 했다. © Djehouty/CC-by-sa 4.0

수학에서 0은 완전한 정수로 간주되므로 유리수 중 하나다. 다른 모든 유리수와 마찬가지로 분수로 표현할 수 있다: 0/1 = 0. 하지만 짝수나 홀수에 할당하는 건 어떨까? 실제로 0은 둘 다 아니어야 한다. 왜냐하면 0은 無를 나타내기 때문이다. 그러나 형식적으로만 보면 0은 짝수의 기준을 충족한다. 즉, 결과가 0이더라도 이론적으로는 2로 나누어 떨어지기 때문이다. 따라서 0은 짝수로 간주된다.

숫자에 대한 모든 것을 다루는 제로

많은 수학 분야에서 0은 특별한 역할을 한다. 좌표계에서는 축의 중앙 교차점을 형성하며, 확률론에서는 가능한 가장 작은 값이다. 그리고 계산할 때 0에는 몇 가지 특별한 규칙이 적용된다. 숫자에 0을 곱하면 항상 0이 나오고, 0을 숫자로 나누면 항상 0이 나온다. 0의 제곱이나 다른 지수를 더해도 0은 그대로다. 반면에 숫자를 0으로 나누는 것은 정의(불능)되어 있지 않기 때문에 어떤 의미에서는 금지되어 있다.

"0은 다재다능한 수학적 객체다. 기호, 숫자, 양, 방향 구분 기호, 자리 표시자 역할을 한다. "이런 0은 세계 역사상 단 두 번만 발명됐다"고 맨체스터 대학의 조지 게버게스 조셉이 설명했다. 하지만 언제부터 0이 그렇게 모든 분야에 수학적으로 능한 숫자가 되었을까?

수학의 0을 발명한 사람은 누구?

초기 바빌로니아인이나 그 이후의 그리스인, 로마인도 0을 독립된 숫자 값으로 사용하지 않았다는 것은 분명한 듯하다. 유일한 예외는 프톨레마이오스를 포함한 일부 고대 천문학자이다. 그들은 이미 천문 좌표와 계산에 0 기호를 사용하지만 "내부적으로"만 사용한다. 그들은 계산 결과를 일반적인 그리스-로마 표기법으로 다시 변환하여 0을 제거한다. 그는 여전히 예외이다.

고대 이집트에서는 수학적 0에 대한 최초의 선구자가 있었는데, 이는 기원전 1700년경의 한 회계사의 기록에서 드러난다. 지출과 수입이 균형을 이루고 더 남는 것이 없을 때마다 그의 회계에 특별한 상형 문자가 나타난다. 그리고 "nfr"이라는 기호가 있다. 이집트 무덤과 피라미드의 건축 도면에서 수평 기준선, 말하자면 ‘0 레벨’을 표시하는 동일한 기호를 찾을 수 있다. 그러나 이집트인들은 아직 이 ‘0’ 기호로 실제로 계산하지 않았다.

마야의 제로

사실, 수학적인 0은 실제로 매우 드물다. 조지 조셉은 "세계 역사상 그러한 0은 단 두 번만 나타났다"고 보고했다. "한 번은 인도에서, 오늘날 우리의 유비쿼터스 제로의 기초가 된 곳에서, 두 번째는 중앙아메리카의 마야족 사이에서 다른 문화권에서 완전히 고립된 곳에서." 두 경우 모두, 제로의 발명과 사용은 천문학과 달력 날짜 계산의 큰 중요성과 밀접하게 연결되어 있다.

▲ 마야인들은 숫자 0을 나타내는 조개 모양의 기호를 사용했는데, 드레스덴 사본의 이 페이지에서 빨간색으로 표시되어 있다. © historisch

"마야인의 경우, 이러한 강박관념은 일년 중 특정 시기에 체계적으로 신에게 인간 제물을 바치지 않으면 세상이 끝날 것이라는 두려움에 기인한다"고 조셉은 설명했다. 기원전 400년경, 마야 사제들은 세 개의 상호 연결된 달력으로 구성된 복잡한 시스템을 사용했는데, 이 시스템에는 숫자 0도 등장한다. 그 상징은 양식화된 달팽이 껍질과 비슷하다. 마야인들은 이 0을 자릿수 값 체계에서 자리 표시자로 사용하고, 계산에서는 숫자로 사용한다. 하지만 마야 제국의 쇠퇴와 함께 콜럼버스 이전 문화권의 천문학적, 수학적 업적은 잊혀졌고, 그와 함께 0이라는 혁명적 개념도 사라졌다.

브라마굽타(Brahmagupta)와 0을 이용한 계산

지구 반대편인 인도에서는 사정이 다르다. 조셉은 "인도에서는 사람들이 끝없는 환생의 순환을 믿었고 이 순환을 끊어 구원을 찾으려고 노력했다"고 설명했다. 이로 인해 천문학, 달력 체계, 수학에 대한 관심이 생겨났다. 0의 역할은 십진법에서 단순한 자리 표시자에서 독립적인 수학적 양으로 일찍 확대되었다.

인도의 수학자이자 천문학자인 아리아바타(Aryabhata)는 아마도 서기 500년경에 그러한 수학적 0의 개념을 개발했을 것이다. 그러나 최초의 명확한 증거는 그의 후계자인 브라마굽타에게서 나왔다. 628년에 쓴 산술에 관한 텍스트에서 그는 양수나 음수에 0을 할당하지 않고, 0을 두 숫자 공간의 구분자로 보았다.

▲ 인도에서는 공허함과 0의 개념이 철학과 종교의 일부였다. © NASA World Wind

세인트 앤드류스 대학의 존 오코너(John O'Connor)는 "그는 음수와 0에 산술을 적용하려고 시도한 최초의 사람이었다"고 설명했다. 브라마굽타에 따르면, 0에 더한 숫자의 수치적 값은 동일하게 유지되지만, 뺄셈에는 특별한 규칙이 적용된다. "0에서 음수를 빼면 그 결과는 양수이고, 0에서 양수를 빼면 그 결과는 음수다"고 브라마굽타는 썼다.

인도 수학자는 또한 숫자에 0을 곱하면 항상 0이 나온다고 설명했다. 0을 숫자로 나누더라도 결과는 항상 0이다. 그러나 0으로 나누는 문제에 대해서는 브라마굽타는 명확한 답을 피한다. 그는 이렇게 썼다. "양수나 음수를 0으로 나누면 그 결과는 분모가 0인 분수다." 오늘날 이 산술 연산은 정의되지 않았기 때문에 유효하지 않은 것으로 간주된다. 수학적 용어로 ‘불능’이다.

박샬리(Bakshali)-사본

박샬리 사본은 0을 사용한 인도의 계산에 대한 가장 오래된 기록 증거로 여겨진다. 자작나무 껍질로 쓰여진 이 70페이지 분량의 텍스트에는 수학적 규칙은 물론, 예제와 설명도 담겨 있다. 계산에서 0을 나타내는 점 기호는 수백 번 등장한다. 소수점 자리로만 등장하는 것이 아니라 어떤 곳에서는 독립된 숫자로도 나타난다. 2017년에 박샬리 사본의 새로운 연대 측정 결과, 가장 오래된 페이지의 연대는 223~383년 사이임이 밝혀졌다.

▲ 약 1,700년 된 바크샬리 사본의 한 페이지를 본 모습. 여기서 점은 0을 나타낸다. © Bodleian Libraries/ 옥스포드 대학교

하지만 그 0이 어떻게 인도에서 우리에게 전해졌을까? (계속)

[더사이언스플러스=문광주 기자]

[저작권자ⓒ the SCIENCE plus. 무단전재-재배포 금지]